МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧА ТРАНСПОРТНИХ ПОСЛУГ ЯК ЗАДАЧА УМОВНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇЇ НЕЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ - Наукові конференції
Головна
UA RU EN

Вас вітає Інтернет конференція!

Вітаємо на нашому сайті

Рік заснування видання - 2014

МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧА ТРАНСПОРТНИХ ПОСЛУГ ЯК ЗАДАЧА УМОВНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇЇ НЕЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

23.06.2017 17:01

[Секція 5. Математичні методи, моделі та інформаційні технології в економіці]

Автор: Кліндухова Валентина Миколаївна, доцент, кандидат педагогічних наук, Київська державна академія водного транспорту


Підготовка бакалаврів транспортних вузів за економічними спеціальностями містить у навчальних планах дисципліну «Методи оптимізації транспортних перевезень» (МОТП). Враховуючи сформовану на достатньому рівні математичну компетентність студентів, необхідність активізації внутрішньо предметних математичних зв’язків, прикладну спрямованість математичних курсів економічних факультетів, доцільність активізації міжпредметних зв’язків, бажано, на наш погляд, особливу увагу у курсі МОТП приділити так званій «задачі споживчого вибору». Нагадаємо основні положення її постановки та етапи розв’язання.

Враховуючи ціни  дохід Q (який споживач має повністю витратити) та власні уподобання, споживач транспортних послуг купує певну кількість послуг, товарів, тощо, які в економічній теорії називають «блага»:  - споживчий набір,  - кількість одиниць  блага.

На множині споживчих наборів  визначена функція  - яку називають функцією корисності споживача (функція уподобань). Значення цієї функції на певному наборі споживача дорівнює оцінці споживачем - індивідуумом цього набору. Оцінку споживача  набору  називають рівнем (ступенем) задоволення потреб індивідуума за умови, що він придбав набір благ . Якщо набір благ А є для споживача більш бажаним ніж набір благ В, то . Історично функція корисності була введена ще у ХІХ сторіччі Джевонсом, Менгером и Вальрасом, які одночасно і незалежно один від іншого розвивали теорію граничної корисності. Що ж стосується відношення уподобань, то відповідна теорія з’явилась лише у ХХ сторіччі [2].

Виділяють чотири типи функції корисності [2]:

1. Логарифмічна: , де   .

2. Мультиплікативна: , де    .

3. Адитивна: , де    .

4. Квадратична: , де  , (від’ємна визначена матриця).

Лінія, що з’єднує споживчі набори , які мають однаковий рівень задоволення потреб індивідуума називають лінією байдужості (спадна, випукла вниз строго до початку координат). Математично вона є лінією рівня функції корисності. Множину ліній байдужості називають картою ліній байдужості.

Задача споживчого вибору (задача раціональної поведінки споживача на ринку) полягає у виборі такого споживчого набору , який максимізує його функцію корисності при заданому бюджетному обмеженні: при умові що , але часто задачу споживчого вибору заміняють на задачу умовної оптимізації і формулюють у вигляді:  при умові що .

Набір , що є розв’язком задачі споживчого вибору, називають оптимальним для споживача або локальною ринковою рівновагою споживача. 

Випадок споживчих наборів із  благ (товарів, послуг) принципово не відрізняється від випадку , але технічно (математично) є складнішим. Тому для спрощення, а також для можливості графічної інтерпретації результатів розв’язування задачі споживчого вибору, в задачах виділяють перше благо, а другим благом вважають усі інші (або ділять блага на дві групи за іншим критерієм). Тоді задача споживчого вибору набуває вигляду: при умові що    (1)

При цьому допустима множина (тобто множина наборів благ, доступних для споживача), яка відповідає бюджетному обмеженню, являє собою трикутник, обмежений осями координат та бюджетною прямою . А оптимальний розв’язок задачі споживчого вибору є точкою дотику бюджетної прямої із лінією байдужості. При цьому для побудови бюджетної прямої доцільно використовувати її точки перетину з осями координат.

Наведену у вигляді (1) задачу споживчого вибору, як правило, пропонують розв’язувати методом Лагранжа. Відомо, що для цього необхідно знайти стаціонарні точки функції Лагранжа  (2), побудувавши та розв’язавши відповідну систему рівнянь (3).

  (2)    (3)    (4)



Однак, важливо відмітити, що властивості функції корисності споживача та бюджетної прямої, дозволяють шляхом рівносильних перетворень спростити систему (3) і привести її до вигляду (4) [1]:

Наведемо приклад задачі споживчого вибору, яку ми пропонуємо для розв’язання студентам.

Задача.  Розв’язати задачу споживчого вибору при цінах благ та  доході: , ,  знаючи функцію корисності: . Зобразити допустиму множину споживчих наборів та лінію байдужості, яка відповідає оптимальному вибору споживача.

Розв’язання. Математична модель наведеної задачі споживчого вибору матиме вигляд наступної задачі умовної оптимізації:  при умові .


Нехай , , тоді .

Знайдемо стаціонарні точки функції Лагранжа, побудувавши відповідну систему рівнянь:

         








Таким чином система набуде вигляду:

         


 - стаціонарна точка функції Лагранжа. Дослідимо її на екстремум за допомогою диференціалу другого порядку:










Таким чином:




Зробити висновків щодо знаку  поки що не можемо. Тому скористаємось додатковою умовою, що наведена у відповідній теоремі:

; ; . Тоді:





Таким чином, точка  - точка максимуму.

.


Для графічного відображення допустимої множини споживчих наборів необхідно побудувати бюджетну пряму: .

Вона пройде через точки тобто  та .

Побудуємо ескіз лінії байдужості, яка відповідає оптимальному вибору споживача. Наближено вона буде мати рівняння: .




Побудувати графік функції, що задана вказаним рівняння, можна або за допомогою комп’ютера, або використовуючи основні властивості функції байдужості та обчисливши приблизно декілька її точок, наприклад (тобто задавши її таблично):





Відповідь. Оптимальним вибором для споживача при вказаних умовах буде придбання економічного блага   у кількості 2,1 одиниць, а    - кількості 19,5 одиниць.




Література:

1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: Издательство «ДИС», 1997. – 368 с.

2. Математические методы и модели в экономике: Учебное пособие/ Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. – Мн.: ТетраСистемс, 2002. – 432 с.

Creative Commons Attribution Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License
допомога Знайшли помилку? Виділіть помилковий текст мишкою і натисніть Ctrl + Enter

Інші наукові праці даної секції

Конференції

Конференції 2024

Конференції 2023

Конференції 2022

Конференції 2021

Конференції 2020

Конференції 2019

Конференції 2018

Конференції 2017

Конференції 2016

Конференції 2015

Конференції 2014

:: LEX-LINE :: Юридична лінія

Міжнародна інтернет-конференція з економіки, інформаційних систем і технологій, психології та педагогіки

Наукові конференції

Економіко-правові дискусії. Спільнота