РОЗРАХУНОК ПОХИБКИ ВИЗНАЧЕННЯ КООРДИНАТ ВИПРОМІНЮВАЧА ЗА РІЗНИЦЕВО-ДАЛЬНОВИМІРЮВАЛЬНИМ МЕТОДОМ - Наукові конференції
Головна
UA RU EN

Вас вітає Інтернет конференція!

Вітаємо на нашому сайті

Рік заснування видання - 2014

РОЗРАХУНОК ПОХИБКИ ВИЗНАЧЕННЯ КООРДИНАТ ВИПРОМІНЮВАЧА ЗА РІЗНИЦЕВО-ДАЛЬНОВИМІРЮВАЛЬНИМ МЕТОДОМ

26.11.2019 11:38

[Секція 5. Математичні методи, моделі та інформаційні технології в економіці]

Автор: Ахек’ян Артем Микирдичович, кандидат фізико-математичних наук, директор Прикарпатського інституту ім. М. Грушевського ПрАТ «ВНЗ МАУП»; Матковський Анатолій Петрович, кандидат фізико-математичних наук, професор кафедри економіки та підприємництва Прикарпатського інституту ім. М. Грушевського ПрАТ «ВНЗ МАУП»; Шульжик Юрій Олександрович, кандидат технічних наук, заступник директора з наукової роботи Прикарпатського інституту ім. М. Грушевського ПрАТ «ВНЗ МАУП»


Розглядається система рівнянь, яка залежить від параметрів, що можуть містити похибки. Запропоновано спосіб обчислення максимальної та середньоквадратичної похибки розв'язку системи при невеликих відхиленнях параметрів. У якості прикладу розглядається задача визначення координат точкового джерела поля за вимірами затримок у часі відносно системи приймачів. Наведено результати розрахунків.

Є задачі, які потребують знання розташування випромінювача деякого фізичного поля відносно системи приймачів. Якщо розташування приймачів відомо, то координати випромінювача визначаться дальновимірювальними методами [1, 2], які базуються на вимірюванні часу проходження сигналу від випромінювача до приймачів, або різниці часу розповсюдження сигналу від випромінювача до кожного з двох приймачів (затримка часу). При невідомих координатах приймачів також можуть бути застосовані дальновимірювальні методи [3].

Внаслідок того, що при розв'язанні задачі використовуються результати вимірювань, що містять похибки, виникає задача оцінки похибки шуканих координат випромінювача. В роботі [3] наведено загальні вирази, що містять малі похибки координат. Деяку оцінку точності розрахунку координат приймачів та випромінювача зроблено в [2] шляхом застосування математичного моделювання — внесення в точні значення затримок у часі випадкових малих складових, але цей шлях не дає можливості знайти максимальну похибку, не кажучи вже про великий обсяг розрахунків.

Дана робота присвячена визначенню максимальної похибки розрахунку координат випромінювача при нескінченно малих похибках часових затримок. При цьому використовується підхід, викладений в роботах [2-3]. Задача розв'язується з точки зору суто математичної постановки: випромінювач та приймач — точки, а затримки у часі — це різниці у відстані.

Нехай задані n різних точок (приймачів) Mj (xj,yj,zj) і базова точка O(0, 0, 0), що не співпадає з жодною точкою Mj. Нехай також існує точка (випромінювач)N(x,y,z), координати якої потрібно визначити по відомим затримкам у часі — різницям відстанейTj=ρ(N,O)-ρ(N,Mj). Тут ρ(A,B) — відстані між точками А та В.

Для визначення шуканих координат отримуємо рівняння




При n = 3 маємо три рівняння і три невідомих. При n > 3 система рівнянь (1) буде перевизначеною, однак враховуючи, що величини Tj (а, можливо, і xj,yj,zj) задаються с деякою похибкою, під розв'язком системи (1) розуміємо знаходження мінімуму функціоналу




Необхідні умови мінімуму функціоналу F:




Запишемо останню систему рівнянь у загальному вигляді:




Зв'язок між приростами параметрів та невідомих з точністю до величин вищого порядку малості задається співвідношеннями:




Частинні похідні (∂xi)⁄(∂ak )визначаються з системи лінійних алгебраїчних рівнянь при диференціюванні співвідношень (2) по ak:




Як правило, значення похибок ∆ak невідомі, отже будемо шукати максимальне значення Km - відношенняK=(∆Sx)⁄(∆Sa ), тут




Використовуючи рівності (3), отримаємо




Таким чином, визначення величини Km зводиться до знаходження максимуму функції (4) при умові (5). Методом множників Лагранжа знаходимо:




де λk — корінь характеристичного рівняння матриці {gkl}. Отже, с точністю до величин вищого порядку малості по відношенню до ∆akмаємо оцінку:




Визначимо тепер значення величини ∆Sa, для якої можна прийняти, що оцінка (6) справджується з заданою точністю. Нехай А — одиничний власний вектор матриці {gkl}, який відповідає максимальному власному значенню, тоді максимальне значення К досягається при колінеарності векторів А і {∆ak }. Надамо параметрам ак приріст у напрямку вектора А: ∆ak=rA (при цьому ∆Sa=r). Розглянемо величину Km (r)=(∆Sx (r))⁄(∆Sa (r))та розкладемо її в ряд Маклорена по r :




Відзначимо, що Km (0)=Km, а значення Km r знайдемо шляхом розв'язку системи (2), коли параметри ak отримують приріст∆ak. Обмежимося двома першими членами в розкладі (7). Значення Km' (0) можна визначити шляхом процедури чисельного диференціювання, тобто Km' (0)=([Km (r1 )-Km (0)])⁄r1 , де r1 — крок для чисельного диференціювання. Визначення оптимального значення наведено у [3], відзначимо лише, що воно може бути знайдено шляхом підбору у кожному конкретному випадку. Шукане значення ∆Sa=rε отримаємо за умови, що Km (rε) відрізняється від Km не більш, чим на задану величину відносної похибки є:




Середньоквадратичне значення величини К визначається за формулою:




де Ωl. — одинична сфера (5). Використовуючи рівність (4) та обраховуючи поверхневі інтеграли в правій частині (9), маємо формулу




Проілюструємо отримані вище результати на прикладах у двовимірному випадку. Нехай маємо базовий приймач O(0, 0) і три приймача в точках М1, М2 або М*2 та М3 на околі одиничного радіуса с центром в точці розташування випромінювача N (рис. 1).

На рис.2 показана величина оцінки похибки Кm , яка обчислена при умові, що координати усіх приймачів точно відомі, а затримки у часі Тj, містять малі похибки. Положення точки М3 змінюється в залежності від кута Θ, нульовому значенню якого відповідає точка М0. Як видно з рисунку 2, при розташуванні приймача в точці М2 оцінка похибки майже всюди значно більша, ніж при його розташуванні в точці М2. Штрих-пунктирною лінією показана середньоквадратична похибка, яка відповідно всюди менша за максимальну. Пунктиром позначено Кm, яка розрахована для задачі при двох (не враховуючі базового) приймачів — М1 і М3  Відзначимо, що в цьому випадку величина Кm не обмежена зверху.




Визначимо тепер значення величини ΔST (у просторі {Т1 Т2, Т3}), для якої можна прийняти, що оцінка (5) нашої задачі справедлива із заданою точністю ε. Приймемо, що приймачі розташовані в точках М1, М2, М3 = М0 (див. рис. 1). У цьому випадку маємо: Кm = 0,94 , а величину ε приймемо 0,1. Значення кроку чисельного диференціювання r1 = 0,01 підберемо на підставі наступної таблиці:




За формулою (8) знайдемо rε=0,254. Відзначимо, що розв'язок системи (2) отримано із використанням функції «Пошук розв'язку» ЕТ Excel.

Наведемо тепер значення оцінки похибки Кm, коли величини Т1 Т2, Т3, х1, у2, х3, у3 відомі точно, а х2 та у2 містять малі похибки. Розташування точки М3 також змінюється в залежності від Θ. Як видно з рис. З, при розташуванні приймача в точці М2 оцінка похибки майже всюди значно більша, ніж при його розташуванні в точці М*2. Пунктирна лінія показує Кm, розраховане для задачі при двох (не враховуючі базового) приймачах — М2 (М*2) і М3. Відзначимо, що і для цього випадку величина Кm не обмежена зверху, рис.З.




Висновки

Представлений матеріал дає можливість оцінити похибку розв'язку систем рівнянь в залежності від похибок параметрів, що входять у рівняння, не розв'язуючи самих рівнянь. Застосування викладеного підходу до задач визначення координат точкового випромінювача фізичного поля дальновимірювальними методами дозволяє оптимально розташовувати систему приймачів по відношенню до випромінювача сигналу і таким чином проводити оцінку точності отриманих результатів.

Література:

1. Матковский А. П., Сухенко А. И. Вычисление максимальной погрешности решения систем уравнений при малых ошибках параметров // Методы и средства определения метрологических характеристик измерительных систем: Сборник науч. тр. - Л: ВНИИМИУС, 1990. - С.91-96. 

2. Матковский А. П., Немкова Е. А. Оценка погрешности определения местоположения излучателя дальномерными методами // Моделювання та інформаційні технології: Зб. наук. праць Інституту проблем моделювання в енергетиці, Вип. 55 — К: ІПМЕ, 2010. - С. 218 - 225. 

3. Яцук В. О., Малачівський П. С. Методи підвищення точності вимірювань: Підручник. – Львів: Вид-во «Бескид-біт», 2008. – 368 с.



Creative Commons Attribution Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License
допомога Знайшли помилку? Виділіть помилковий текст мишкою і натисніть Ctrl + Enter

Інші наукові праці даної секції

Конференції

Конференції 2024

Конференції 2023

Конференції 2022

Конференції 2021

Конференції 2020

Конференції 2019

Конференції 2018

Конференції 2017

Конференції 2016

Конференції 2015

Конференції 2014

:: LEX-LINE :: Юридична лінія

Міжнародна інтернет-конференція з економіки, інформаційних систем і технологій, психології та педагогіки

Наукові конференції

Економіко-правові дискусії. Спільнота