ГЕОМЕТРІЯ БІЛЬЯРДУ НА ФАКУЛЬТАТИВНИХ ЗАНЯТТЯХ З МАТЕМАТИКИ У ЗЗСО - Наукові конференції
Головна
UA RU EN

Вас вітає Інтернет конференція!

Вітаємо на нашому сайті

Рік заснування видання - 2014

ГЕОМЕТРІЯ БІЛЬЯРДУ НА ФАКУЛЬТАТИВНИХ ЗАНЯТТЯХ З МАТЕМАТИКИ У ЗЗСО

18.03.2023 18:02

[4. Педагогічні науки]

Автор: Топор Тетяна Дмитрівна, студентка, факультет математики та інформатики, Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича

Постановка проблеми. Ефективним засобом дослідження деяких задач класичної механіки є використання рефлекторної системи математичного більярду. Математичний флет-більярд схожий на звичайний більярд, за вийнятком довільнгої конфігурації столу та відсутності луз. Хоча існують природні аналогії між деякими проблеммами фізики та більярдними систематими,це дуже спрощена модель задачі класичної механіки. фізичними задачами й системами більярдного типу. 

Дослідження систем відображення базується на використанні фазового простору та фазового портрета. При цьому початковий вектор V після відбиття передбачається характеризувати циклічними координатами  φ ϵ S1, що вказують положення точки на кривій Γ і кут  α  [0, 2 ) між вектором дотичної та вектором V .




Рис. 1. Елементи відбивальної системи
Фазовим простором системи відбиття є циліндрична поверхня. Це пояснюється тим, що після відображення вектора ми маємо новий початковий вектор, який відповідає новій точці S1 і куту α 1. Відображення T(S0, α 0) = (S1, α 1) є відображенням відображення.
За умови безперервності це відображення можна поширити на замкнуті циліндри  α = 0 точок фіксується, оскільки крива Г не має відрізка. Наявність прямих відрізків у конфігурації кордону створює розриви у відображенні відображення та ускладнює програмну реалізацію ідеї відображення.                            
Аналіз сучасних досліджень і публікацій. Представлення більярдної системи має дві важливі якісні властивості, які складають основу алгоритму.  
- Містить елементи dA sin d dS ddS  β = cos α . Отже, щоб ввести координати, де зберігається область, замість цього використовуйте соs α = β .  
- Зафіксуйте координати S0 і змініть координати. S-координата зображення змінюється монотонно, поки не обійде все коло і назад. Це означає, що «вертикальне» зображення як генеруючий циліндр потрібно обертати.

Зображення в конфігураційному просторі відповідає топологічному портрету у фазовому просторі. На Рис.2 наведено приклад фазової діаграми еліпса.

 



Рис. 2
Зверніть увагу, що для  еліпсів це зображення нагадує геометричне місце математичного маятника, якщо фазовий циліндр Тобто в просторі періоду вибивання A2 є дві орбіталі, що відповідають великій системі еліпсів і малому діаметру еліпсів. «Горизонталь 8» (сепарикс) відповідає орбіті, що проходить через фокус еліпса. Тобто, як тільки траєкторія проходить через фокальні точки, вона продовжить проходити через фокальні точки по черзі. За цією «8» знаходиться орбіта, дотична до еліпса. Те, що в ньому, походить від орбіти, дотичної до гіперболи.
Формулювання мети статті. Алгоритм підтримує побудову топологічних діаграм відбивних систем для фігур, обмежених відрізками та еліптичними дугами.
Основна частина. Комп’ютерні експерименти дозволяють досліджувати дуже складні явища. Для дослідження системи відбиття вибирається точка z0 фазового циліндра M і створюється траєкторія відбиття, що виходить з неї. Розроблена програма видає наступну (після z0) точку відбиття z1 M, потім другу точку відбиття z2 M і так далі. Виникає питання:
Як точки z0, z1, z2, ... розташовані в M?
Щоб представити відображення кола, відповідь проста.
Усі вони знаходяться на одній прямій φ= const циліндра M. Схожа ілюстрація еліпса: усі точки z0, z1, z2, ... лежать на одній лінії циліндра M і представляють усі траєкторії, дотичні до цієї катакустики.
Важливо, що весь циліндр M розшаровується на окремі лінії як незв’язані траєкторії. Траєкторії рухаються незалежно (потрапивши на одну з траєкторій, траєкторії ніколи не залишають). Ці лінії називають інваріантними кривими, тому що вони перетворюються (зберігаються) під впливом відбиття Т. Наявність топологічних портретів спрощує дослідження системи. Фактично, знаючи інваріантну криву, де знаходиться початкова точка z0, ми можемо передбачити її «майбутнє» та відновити її «минуле». Тому доцільно не вивчати рух точки у фазовому просторі, а вивчити її рух на інваріантній кривій.  
Розроблено програму для створення відбитків і відповідних топологічних портретних зображень. Припускається, що початковий напрямок руху веб-посилання утворює кут 45 градусів з віссю Ох, тоді як використовується 250 відображень. На Рис. 3 зображено траєкторію променя всередині еліпса та відповідну фазову діаграму відбиття.





  Рис. 3. Траєкторії та фазові портрети з початком:
 а) між фокусами еліпса;                                     б) за межами відрізка між фокусами
На рис. 4  наведено траєкторії та фазові портрети відбивальних систем в областях,  комбінованих з  еліпсом.  




              Рис. 4. Траєкторії та фазові портрети з початком у точці:
а) (3,99; 0);                                          б) (4,5; 0)
На рис. 5  наведено фазові портрети відбивальних систем для області, яка має назву «гриба Бунімовича».  





Рис. 5. Траєкторії та фазові портрети з початком у точці:  
а) (3,5; 0);  б) (3,7; 0); в) (3,99; 0);  г) (4,01; 0)  
Відомі різновиди математичного більярду. Наприклад, модель розсіяного більярду імітує так званий газ Лоренца. Крім того, розглядається система відбиття більярдного типу, обмежена межами збурень. У той же час наслідки граничних коливань проявляються в явищі прискорення Фермі, розподілі більярдних частинок зі швидкістю. Іншими словами, частинки прискорюються, коли їх початкова швидкість перевищує критичне значення, характерне для конкретної геометрії більярдного столу. Якщо початкова швидкість нижче критичної, більярдна куля сповільнюється.
Більярдні рефлекторні системи служать моделями для акустики, оптики та ін. Крім того, проблеми, які виникають при вивченні моделі більярду, тісно пов'язані з ергодичною гіпотезою Больцмана.
Висновки. Складений фазовий портрет дисплея відображення дозволяє аналізувати інваріантні багаторазові відбиття в більярді з прямолінійним і еліптичним перерізами. Наявність фазового портрета спрощує дослідження системи, оскільки знання інваріантної кривої початкової точки z0 дозволяє передбачити «майбутнє» і «минуле» положення на контурі більярда. 
Література
1.Білецький С.В. Геометричне моделювання багатократних відбиттів світлових і теплових променів в еліптичних областях: автореф. на здобуття наук. ступеня канд. техн. наук: 05.01.01/ Київський національний університет будівництва і архітектури. – Київ, 2006. – 20 с.  
2.Ткаченко В.П.. Фазові портрети математичних більярдів, комбінованих з еліпсом / В.П. Ткаченко, І.Л. Куценко,  С.В. Білецький // Геометричне та комп’ютерне моделювання. – Вип. 20. – Харків: ХДУХТ. –  C. 95–100.  
_________________
Науковий керівник:  Мироник Вадим Ілліч, доцент кафедри алгебри та інформатики, Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича 




























Creative Commons Attribution Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution 4.0 International License
допомога Знайшли помилку? Виділіть помилковий текст мишкою і натисніть Ctrl + Enter

Інші наукові праці даної секції

Конференції

Конференції 2024

Конференції 2023

Конференції 2022

Конференції 2021

Конференції 2020

Конференції 2019

Конференції 2018

Конференції 2017

Конференції 2016

Конференції 2015

Конференції 2014

:: LEX-LINE :: Юридична лінія

Міжнародна інтернет-конференція з економіки, інформаційних систем і технологій, психології та педагогіки

Наукові конференції

Економіко-правові дискусії. Спільнота